Kamis, 10 Januari 2013

modul tentang himpunan, logika, ketaksamaan dan fungsi

BAB I
HIMPUNAN


 
Dalam kehidupan sehari-hari, kita terkadang dihadapkan banyak data, benda, ataupun objek yang perlu kita olah. Untuk memudahkan pengolahan, biasanya benda atau objek itu kita golongkan berdasarkan kriteria, sifat, bentuk, ciri-ciri, dst. Hasil dari penggolongan di atas akan kita dapatkan kumpulan dari sejumlah objek atau yang sering kita sebut sebagai himpunan.
Definisi 1.1  Himpunan adalah kumpulan objek.

Dalam matematika, penulisan suatu himpunan diawali dengan symbol ‘{’ dan diakhiri dengan ‘}’.
Contoh 1.1     {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…}
Dalam modul ini, himpunan dilambangkan dengan huruf capital seperti A, B, C, dst, sedangkan elemen atau anggota dari suatu himpunan dilambangkan dengan huruf kecil seperti a, b, c, dst. Berikut adalah contoh dari beberapa himpunan yang juga symbol baku dari himpunan yang juga symbol baku dari himpunan yang sering digunakan pada modul ini.
Contoh 1.2    
                       
Symbol  (dibaca:  Elemen dari) digunakan untuk menyatakan bahwa suatu objek adalah anggota dari suatu Himpunan. Dan symbol  menyatakan bukan anggota dari suatu himpunan.
Contoh 1.3      2 adalah  elemen dari himpunan bil. natural
                                     -2 adalah bukan elemen dari himpunan bil. Positif


1.1              Jenis-jenis Himpunan
Definisi 1.2  
Himounan S adalah proper subset dari T (dinotasikan dengan ) apabila
.
Ketika terdapat 2 buah himpunan dan kita membandingkan dua himpunan tersebut, maka diperlukan definisi yang menyatakan kedua himpunan tersebut sama atau tidak.
Definisi 1.3     Himpunan kosong
Suatu himpunan disebut himpunan kosong jika dan hanya jika himpunan tersebut tidak memiliki anggota dan disimbolkan dengan Ф atau { }
Misalkan didefinisikan himpunan sebagai berikut:
a.       A = Himpunan dosen non muslim IAIN Mataram
Dalam hal ini, dengan jelas dapat ditentukan bahwa himpunan A tidak memiliki anggota, karena syarat untuk menjadi dosen IAIN Mataram harus muslim.
b.      B = Himpunan bilangan asli yang kurang dari 1
Karena himpunan bilangan asli adalah {1, 2, 3,  .  .  .}, jelas bahwa tidak ada bilangan asli yang kurang dari 1, sehingga n (B) = 0.
Definisi 1.4     Himpunan Berhingga dan Tak Berhingga
Suatu himpunan disebut berhingga jika dan hanya jika banyaknya anggota himpunan tersebut dapat dinyatakan dalam bilangan bulat tak negatif dan sebaliknya disebut himpunan tak berhingga

Misalkan dimiliki himpunan sebagai berikut:
A = Himpunan mahasiswa IAIN yang masih BALITA
B = {1, 3, 5, 7}
C = {0, 2, 4, 6,… , 20}
D = {x: x nama  hari dalam seminggu}
E = {0, 1, 2, 3, …}
F = {…, -2, -1, 0, 1, 2, … }
G = {x: 0 < x < 1}
Dari himpunan tersebut di atas, himpunan A, B, C dan D adalah himpunan berhingga karena n(A) = 0, n(B) = 4, n(C) = 11 dan n(D) = 7. Sedangkan himpunan E, F dan G adalah himpunan tak berhingga, karena n(E), n(F) dan n(G) tidak diketahui.
Definisi 1.5  Himpunan Terbilang dan Tak Terbilang
Suatu himpunan disebut terbilang jika dan hanya jika setiap anggotanya dapat disebutkan satu persatu, dan sebaliknya disebut tak terbilang.
Misalkan dimiliki himpunan sebagai berikut:
A = {a, b, c, d}; B = {1, 2, 3, . . .} dan C = {x: 0 < x < 1}
Himpunan A dan B disebut himpunan terbilang, karena setiap anggotanya InsyaAllah dapat disebutkan satu per satu meskipun B juga termasuk himpunan tak berhingga. Sedangkan C adalah himpunan tak terbilang, karena kita tidak dapat menyebutkan satupersatu anggotanya. Karena kita tidak dapat menyebutkan bilangan real setelah nol atau bilangan real sebelum 1. Dalam hal ini C juga disebut himpunan tak berhingga dan tak terbilang.
Definisi 1.6  Himpunan terbatas dan Tak Terbatas
Suatu himpunan disebut terbatas, jika dan hanya jika himpunan tersebut memiliki batas atas dan batas bawah

a.       K ={1, 2, 3, 4}, mempunyai batas bawah 1 dan batas atas 4. Jadi L merupakan himpunan terbatas.
b.       L = {x: x < 4}, hanya mempunyai batas atas, yakni 4. Jadi L merupakan himpunan tak terbatas.

1.2              Diagram Venn
Himpunan dapat direpresentasikan dengan diagram venn. Penggunaan diagram venn ini pertama kali diperkenalkan oleh seorang matematikawan Inggris yang bernama John Venn pada tahun 1881. Himpunan seemesta, yang beranggotakan seluruh objek yang penting, direpresentasikan dengan bentuk kotak, dan di dalam kotak tersebut terdapat lingkaran atau bentuk-bentuk geometris lainnya untuk merepresentasikan himpunan. Terkadang tanda titik dipergunakan pula untuk menggambarkan elemen dari suatu himpunan. Diagram Venn sering pula digunakan untuk menggambarkan relasi antar himpunan.
Contoh 1.4     Gambarkan diagram Venn yang menggambarkan himpunann V, yaitu himpunan himpunan huruf vocal dalam bahasa Indonesia.
Solusi:
Pertama gambarkan himpunan semesta U sebahai bentuk kotak, dalam hal ini U adalah himpunan huruf-huruf yang digunakan dalam bahasa Indonesia yaitu {a, b, c, d, e, …, x, y, z}. Kemudian gambarkan sebuah lingkaran dalam kotak U untuk merepresentasikan V. di dalam V gambarkan titik-titik yang menyatakan elemen dari V  yaitu a, e, i, o, u.
Oval: V
•	a
•	e
•	i
•	o
•	u

U

1.3              Operasi Pada Himpunan
Berikut adalah operasi-operasi yang berlaku pada himpunan beserta definisinya
Definisi 1.7
Apabila terdapat dua himpunan sembarang S dan T dimana keduanya adalah subset dari U. Union (gabungan) dari S dan T dilambangkan dengan , yang merupakan himpunan yang beranggotakan elemen dari S atau elemen dari T. Notasi matematikanya adalah:

Definisi 1.8  
Irisan dari dua himpunan S dan T dilambangkan dengan , dimana  adalah himpunan yang terbentuk dari elemen yang terkandung pada S dan pada T. Atau notasi matematikanya:

Definisi 1.9
Dua buah himpunan S dan T tidak beririsan apabila

Definisi 1.10
Apabila terdapat sembarang himpunan S dan T. komplemen relative T terhadap S, dilambangkan , adalah himpunan yang dibentuk dari seluruh elemen S yang bukan elemen dari T. Berikut adalah notasi matematikanya:

Definisi 1.11
Asumsikan U Adalah Himpunan Semesta. Bila terdapat sembarang himpunan S pada U, Komplemen Absolut dari S, dinotasikan dengan Sc, adalah . Atau:



BAB II
LOGIKA MATEMATIKA


 


2.1              Pengertian Logika
Ada pernyataan menarik yang dikemukakan mantan Presiden AS Thomas Jefferson sebagaimana dikutip Copi (1978) berikut ini: “In a rpublican nation, whose citizens are to be led by reason and persuasion and not by force, the art of reasoning becames of first importance” (p.vii). Pernyataan itu menunjukkan pentingnya logika, penalaran dan argumentasi dipelajari dan dikembangkan di suatu Negara sehingga setiap warga Negara akan dapat dipimpin dengan daya nalar (otak) dan bukannya dengan kekuatan (otot) saja. Karenanya, seperti yang dinyatakan mantan Presiden AS tadi, seni bernalar merupakan hal yang sangat penting. Di samping itu, Copi (1978) juga mengutip pendapat Juliana Geran Pilon yang senada dengan ucapan mantan Presiden AS tadi: “Civilized life depends upon the success of reason in socil intercourse, the prevalence og logic over violence in interpersonal conflict” (p.vii).
Dua pernyataan di atas telah menunjukkan pentingnya penalaran (reasoning) dalam percaturan politik dan pemerintahan di suatu Negara. Tidak hanya di bidang ketatanegaraan maupun hokum saja kemampuan bernalar itu menjadi penting. Di saat mempelajari matematika maupun ilmu-ilmu lainnya penalaran itu menjadi sangat penting dan menentukan. Secara etimologis, logika berasal dari kata Yunani ‘logos’ yang berarti kata, ucapan, pikiran secara utuh, atau bias juga berarti ilmu pengetahuan (Kusumah, 1986). Dalam arti luas, logika adalah suatu cabang ilmu yang mengakji penurunan-penurunan kesimpulan yang sahih (valid, correct) dan yang tidak sahih (tidak valid, incorrect). Proses berpikir yang terjadi di saat menurunkan atau menarik kesimpulan dari pernyataan-pernyataan yang diketahui benar atau dianggap benar itu sering juga disebut dengan penalaran (reasoning).


2.2              Pengertian Pernyataan
Dimulai sejak ia masih kecil, setiap manusia, sedikit demi sedikit melengkapi perbendaharaan kata-katanya. Di saat berkomunikasi, seseorang harus menyusun kata-kata yang dimiliki arti atau bermakna. Kalimat adalah susunan kata-kata uyang memiliki arti yang dapat berupa pernyataan (“Pintu itu tertutup”), pertanyaan (“Apakah pintu itu tertutup?”), perintah (“Tutup pintu itu!”) ataupun permintaan (“Tolong pintunya ditutup”). Dari empat macam kalimat tersebut, hanya pernyataan saja yang memiliki nilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus benar atau salah. Meskipun para ilmuwan, matematikawan ataupun ahli-ahli lainnya sering menggunakan beberapa macam kalimat tersebut dalam kehidupan sehari-harinya, namun hanya pernyatan saja yang menjadi perhatian mereka dalam mengembangkan ilmunya.
Setiap ilmuwan, matematikawan, ataupun ahli-ahli l;ainya akan beruasaha untukn mengahsilkan suatu pernyataan atau teori yang benar. Suatu pernyatan (termasuk teori) tidak aka nada artinya jika tidak bernilai benar. Karenanya, pembicaraan mengenai benar tidaknya suatu kalimat yang memuat suatu teori telah menjai pembicaraan dan perdebatan para hli filsafat dan logika dahulu kala. Untuk menjelaskan tentang criteria kebenaran,  perhatikan dua kalimat berikut.
a.    Semua manusia akan mati
b.    Jumlah besar sudut-sudut suatu segitiga adalah 180o.
Pertanyaannya, dari dua kalimat tersebut manakah yang bernilai benar dan manakah yang ebrnilai salah. Pertanyaan selanjutnya, mengapa kalimat tersebut dikategorikan bernilai benar atau salah, dan bilamana suatu kalimat dikategorikan sebagai kalimat yang bernilai benar atau salah. Untuk menjawab pertanyaan tersebut, Suriasumantri (1988) menyatakan  bahwa ada tiga teori yang berkaitan dengan criteria kebenaran ini, yaitu teori korespondensi, teori koherensi, dan teori pragmatis. Namun sebagian buku hanya membicarakan dua teori saja, yaitu teori korespondensi dan teori koherensi sehingga pembicaraan kita hanya berkaitan denga dua teori tersebut.


2.3              Teori Korespondensi
Teori korespondensi menunjukkan bahwa suatu kalimat akan bernilai benar jika hal-hal yang terkandung di dalam pernyataan tersebut sesuai atau cocok dengan keadaan yang sesungguhnya. Contohnya, “Surabaya adalah ibukota Propinsi Jawa Timur” merupakan suatu pernyataan yang bernilai benar karena kenyataannya memang demikian, yaitu Surabaya memang benar merupakan ibukota Propinsi Jawa Timur. Namun pernyataan “Tokyo adalah Ibukota Singapura”, menurut teori akan bernilai salah karena hal-hal yang terkandung di dalam pernyataan itu tidak sesuai dengan kenyataan.
Teori-teori Ilmu Pengetahuan Alam banyak didasarkan pada teori korespondensi ini. Dengan demikian jelaskan bahwa teori-teori atau pernyataan-pernyataan Ilmu Pengetahuan Alam akan dinilai benar jika pernyataan itu melaporkan, mendeskripsikan, ataupun menyimpulkan kenyataan atau fakta yang sebenarnya. Sedangkan Matematika yang tidak hanya mendasarkan pada kenyataan atau fakta semata-mata namun mendasarkan pada rasio dan aksioma telah melahirkan teori koherensi yang akan dibahas pada bagian berikut ini.

2.4              Teori Koherensi
Teori koherensi menyatakan bahwa suatu kalimat akan bernilai benar jika pernyataan yang terkandung di dalam kalimat itu bersifat koheren, konsisten, atau tidak bertentangan dengan pernyataan-pernyataan sebelumnya yang dianggap benar. Contohnya, pengetahuan Aljabar telah didasarkan pada pernyataan pangkal yang dianggap benar. Pernyataan yang dianggap benaritu disebut aksioma atau postulat.
Ada enam aksioma yang berkait dengan bilangan real a, b, dan c terhadap operasi penjumlahan (+) dan perkalian (´) berlaku sifat:
a.       Tertutup, a + b Î Â dan a ´ b Î Â
b.      Asosiatif, a + (b + c) = (a + b) + c dan a ´ (b ´ c) = (a ´ b) ´ c
c.       Komutatif, a + b = b + a dan a ´ b = b ´ a
d.      Distributive, a ´ (b + c)=(a ´ b) + (a ´ c) dan (b + c) ´ a = (b ´ a) + (c ´ a)
e.       Identitas, a + 0 = 0 + a = a dan a ´ 1 = 1 ´ a = a
f.       Invers, a + (-a) = (-a) + a = 0 dan
Berdasarkan enam aksioma itu, teorema seperti –b + (a + b) = a dapat dibuktikan dengan cara sebagai berikut:
-b + (a + b) = -b + (b + a)                    Aks 3 – Komutatif
                 = (-b + b) + a                      Aks 2 – Asosiatif
                 = 0 + a                                Aks 6 – Invers
                 = a                                      Aks 5 – Identitas
Demikian juga pernyataan bahwa jumlah sudut-sudut suatu segi-n adalah (n– 2) ´ 1800 akan bernilai benar karena konsisten dengan aksioma yang sudah disepakati kebenarannya dan konsisten juga dengan dalil atau teorema sebelumnya yang sudah terbukti. Dengan demikian jelaslah bahwa bangunan matematika didasarkan pada rasio semata-mata, kepada aksioma-aksioma yang dianggap benar tadi. Suatu hal yang sudah jelas benarpun harus ditunjukkan atau dibuktikan kebenarannya dengan langkah-langkah yang benar.
Dari paparan di atas jelaslah bahwa pada dua pernyataan berikut.
a.       Semua manusia mati
b.      Jumlah besar sudut-sudut suatu segitiga adalah 1800.
Maka baik pernyataan (a) maupun (b) akan sama-sama bernilai benar, namun dengan alas an yang berbeda. Pernyataan (a) bernilai benar karena pernyataan itu melaporkan, mendeskripsikan maupun menyimpulkan kenyataan atau fakta yang sebenarnya. Sampai detik ini, belumpernah ada orang yang hidup kekal dan abadi. Pernyataan (a) tersebut akan bernilai salah jika sudah ditemukan suatu alat atau obat yang sangat canggih sehingga aka nada orang yang tidak bias mati lagi. Sedangkan pernyataan (b) bernilai benar karena pernyataan itu konsisten atau koheren ataupun tidak bertentangan dengan aksioma yang sudah disepakati kebenarannya dan konsisten juga dengan dalil atau teorema sebelumnya yang sudah terbukti. Itulah sekilas tentang teori korespondensi dan teori koherensi yang memungkinkan kita untuk dapat menentukan benar tidaknya suatu pernyataan.

Logika merupakan salah satu bidang ilmu yang mengkaji prinsip-prinsip penalaran yang betul dan penarikan kesimpulan yang absah, baik yang bersifat deduktif maupun yang bersifat induktif. Logika merumuskan hukum-hukum yang dapat digunakan sebagai alat untuk menilai apakah hasil suatu pemikiran betul/abash. Hukum-hukum itu akan dikenakan pada proses pemikiran itu sendiri. Kita dapat memperbaiki cara berpikir dengan jalan mempelajari logika dalam rangka menertibkan cara berpikir.
2.5              Pernyataan Tunggal dan Negasinya
Perhatikan contoh-contoh kalimat berikut ini.
a.       Sebuah segi empat mempunyai empat sisi
b.      Ibu kota provinsi Nusa Tenggara Barat adalah Mataram
c.       9 adalah suatu bilangan prima
d.      12 kurang dari 8
Kita dapat menetukan nilai kebenaran (benar atau salah) dari kalimat-kalimat tersebut. Kalimat-kalimat (a) dan (b) bernilai benar, sedangkan kalimat-kalimat (c) dan (d) bernilai salah. Kalimat yang mempunyai nilai benar saja atau nilai salah saja adalah kelimat yang menerangkan (kalimat deklaratif). Kalimat yang menerangkan inilah yang disebut pernyataan.
            Pernyataan adalah kalimat yang bernilai benar atau bernilai salah, tetapi tidak sekaligus bernilai kedua-duanya.
Kalimat yang tidak dapat ditemukan nilai kenbenarannya tidak merupakan pernyataan. Contoh-contoh berikut ini adalah kalimat yang bukan pernyataan.
a.       Apakah Siti berada dirumahmu? (kalimat Tanya)
b.      Alangkah indahnya lukisan ini (kalimat yang mengungkapkan suatu perasaan)
c.       Tutuplah pintu itu! (kalimat perintah)
d.      Semoga Anda lekas sembuh (kalimat harapan)
Kalimat-kalimat tersebut tidak bernilai benar dan juga tidak  bernilai salah. Kalimat-kalimat seperti ini tidak dibicarakan dalam buku ini. Kalimat yang dibicarakan dalam buku ini adalah kalimat yang merupakan pernyataan.
Selanjutnya untuk menyingkat penulisan maka suatu pernyataan diberi lambing (symbol) dengan huruf alphabet kecil: a, b, c, … atau lainnya. Sedangkan untuk nilai Benar dan Salah berturut-turut disingkat dengan B dan S.
Contoh .
1.      “sebuah segi tiga mempunyai tiga sisi” diberi lambang  “a”.
2.      “9 adalah suatu bilangan prima” diberi lambang “b”.
3.      “15 terbagi habis oleh 3” diberi lambang  “p”.

            Pada contoh  ini, pernyataan a bernilai B (benar), pernyataan b bernilai S (salah) dan pernyataan  p bernilai B (benar). Perhatikan pada contoh (2) tersebut, “b” menyatakan “9 adalah suatu bilangan prima”, dan pernyataan “b” ini bernilai S. sedangkan pernyataan “9 bukan suatu bilangan prima” bernilai B. Dikatakan bahwa pernyataan “9 bukan suatu bilangan prima” merupakan negasi (sangkalan/ingkaran) dari pernyataan “9 adalah suatu bilangan prima”. Selanjutnya “negasi dari b” dilambangkan “~b”. pada contoh (3) di atas, “p” menyatakan “15 terbagi habis oleh 3” maka ‘~p: menyatakan “15 tidak terbagi habis oleh 3”. Tampak bahwa “p” bernilai B dan “~p” bernilai S.
Negasi suatu pernyataan adalah suatu pernyataan yang bernilai salah apabila pernyataan semula bernilai benar, dan bernilai benar apabila pernyataan semula bernilai benar.
Contoh .
1.      Apabila “a” menyatakan “Tembok itu berwarna putih” maka “~a” adalah “Tembok itu tidak berwarna putih”. Dapat juga dikatakan “Tidaklah benar tembok itu berwarna putih”.
2.      Jika “d” menyatakan “Ida suka mangga” maka “~d” menyatakan “Ida tidak suka mangga”.
3.      Jika “p” melambangkan “Siti lebih tinggi dari Ani” maka “~p: menyatakan “Siti tidak lebih tinggi daripada Ani”.

Pernyataan dan negasinya mempunyai nilai-nilai kebenaran yang selalu berbeda, artinya jika pernyataannya bernilai B maka negasinya bernilai S dan sebaliknya jika pernyataan bernilai S maka negasinya bernilai B. hal ini dapat dibuat tabel sebagai berikut.
A
~a
~(~a)
B
S
B
S
B
S

2.6              Pernyataan Majemuk
Pernyataan majemuk merupakan rangkaian dari dua pernyataan atau lebih dengan kata penghubung. Pernyataan-pernyataan yang dirangkai masing-masing disebut pernyataan tunggal. Kata penghubung yang dimaksud adalah “dan”, “atau”, “jika …. Maka …” dan “jika dan hanya jika”. Lambang kata-kata penghubung tersebut dapat dilihat pada daftar sebagai berikut:
Kata penghubung
Lambang
Dan
Ù
Atau
Ú
jika-maka
Þ
jika dan hanya jika
Û

1.      Konjungsi
Contoh: “7 adalah bilangan prima dan genap”
Pernyataan ini merupakan pernyataan majemuk karena pernyataan ini merupakan rangkaian dua pernyataan, yaitu “7 dalah bilangan prima” dan “7 adalah bilangan genap”. Jika pernyataan “7 adalah bilangan prima” diberi lambing “a” dan “7 adalah bilangan genap” diberi lambing “b” maka pernyataan majemuk itu dilambangkan dengan “a Ù b” (dibaca “a dan b”).
Pernyataan majemuk yang hanya menggunakan kata penghubung “dan” (“Ù”) disebut konjungsi. Nilai kebenaran dari suatu pernyatan majemuk tergantung dari nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan tunggalnya. Nilai kebenaran dari konjungsi dua pernyataan ditentukan dengan aturan sebagai berikut.
Konjungsi dua pernyataan a dan b (ditulis “a Ù b” dibaca “a dan b”) bernilai B (benar) hanya apabila dua pernyataan a dan b masing-masing bernilai B (benar) [dan untuk nilai-nilai kebenaran a dan b lainnya, “a Ù b” bernilai S (salah)].
Dengan memperhatikan bahwa “satu pernyataan mempunyai dua kemungkinana nilai (B atau S) maka aturan tersebut dapat dinyatakan dalam tabel nilai kebenaran sebagai berikut.
                 Tabel 1. Nilai kebenaran dari konjungsi
a
b
a Ù b
B
B
B
B
S
S
S
B
S
S
S
S
Perhatikan  bahwa nilai kebenaran dari konjungsi ditentukan oleh nilai-nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan tunggalnya dan tidak perlu memperhatikan ada tidaknya hubungan antara pernyataan-pernyataan tunggalnya.
2.      Disjungsi
Pernyataan majemuk yang hanya menggunakan kata penghubung “atau” (Ú) disebut disjungsi. Jika a dan b masing-masing pernyataan tunggal maka disjungsi a dan b ditulis “a Ú b” dan dibaca “a atau b”.
Misalnya  a = Amin pergi ke pasar, dan b = Amin bermain bola.
            a Ú b = amin pergi ke pasar atau Amin bermain bola
Nilai kebenaran dari disjungsi ditentukan oleh nilai-nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan tunggalnya dengan aturan berikut ini.


Disjungsi dua pernyataan a dan b (ditulis “a Ú b” dibaca “a atau b”) bernilai S hanya apabila dua pernyataan a dan b masing-masing bernilai S, [sedangkan  untuk nilai-nilai kebenaran a dan b lainnya, “a Ú b” bernilai B].

Sesuai dengan adanya dua kemungkinan bagi suatu pernyataan maka aturan tersebut dapat dinyatakan dalam tabel nilai kebenaran sebagai berikut.
Tabel 2. Nilai kebenaran dari disjungsi
a
b
a Ú b
B
B
B
B
S
B
S
B
B
S
S
S

Aturan atau tabel nilai kebenaran tersebut dapat pula dikatakan sebagai berikut: Disjungsi dua pernyataan bernilai B apabila sekurang-kurangnya satu dari pernyataan-pernyataan tunggalnya bernilai B.
Contoh
1.      a = Surabaya terletak di provinsi Jawa Timur. (B)
b = Satu minggu terdiri dari tujuh hari. (B)
a Ú b = Surabaya terletak di provinsi Jawa Timur atau Satu minggu terdiri dari tujuh hari. (B)
2.      u = 5 adalah bilangan prima. (B)
w = 18 terbagi habis oleh 8. (S)
u Ú w = 5 adalah bilangan prima atau 18 terbagi habis oleh 8. (B)


3.      Negasi dari Konjunggsi dan Disjungsi
Konjungsi dan Disjungsi masing-masing merupakan suatu pernyataan. Sehingga negasi dari konjungsi dan disjungsi mempunyai makna yang sama dengan negasi suatu pernyataan. Oleh karena itu, nilai kebenaran dari negasi konjungsi dan disjungsi, harus berpandu pada aturan tentang nilai kebenaran dari konjungsi dan disjungsi. Untuk menentukan negasi dari konjungsi dua pernyataan perhatikan tabel nilai kebenaran berikut ini.
Tabel 3. Nilai kebenaran negasi dari konjungsi
a
b
~a
~b
a Ù b
~(a Ù b)
~a Ú ~b
B
B
S
S
B
S
S
B
S
S
B
S
B
B
S
B
B
S
S
B
B
S
S
B
B
S
B
B
Kolom ke
1
2
3
4
5

Penyusunan tabel nilai kebenaran  di atas dilakukan sebagai berikut. Nilai kebenaran pada kolom ke-1, yaitu nilai kebenaran dari ~a menggunakan ketentuan negasi suatu pernyataan. Apabila a bernilai B maka ~a bernilai S dan sebaliknya. Demikian pula untuk nilai kebenaran pada kolom ke-2. Nilai kebenaran pada kolom ke-3, yaitu nilai kebenaran a Ù b diisi dengan menggunakan aturan nilai kebenaran konjungsi dua pernyataan a dan b. nilai kebenaran pada kolom ke-4 adalah negasi dari kolom ke-3. Sedangkan nilai kebenaran pada kolom ke-5 diturunkan dari kolom ke-1 dan ke-2 dengan menggunakan aturan disjungsi.
Tampak dalam tabel di atas bahwa urutan nilai kebenaran pada kolom ke-4 sama dengan urutan nilai kebenaran pada kolom ke-5. Maka, dapat disimpulkan bahwa:
~ ( a Ù b ) = ~ a Ú ~ b



Negasi dari konjungsi dua pernyataan sama dengan disjungsi dari negasi masing-masing pernyataan tunggalnya.

Tentukanlah negasi dari pernyataan-pernyataan  berikut ini
1.      Amin pergi ke took dan Amin membeli buku
2.      4 + 5 = 9 dan 9 adalah suatu bilangan prima
3.      7 lebih dari 5 dan 6 adalah bilangan komposit
Jawab:
1.      Amin tidak pergi ke took atau  Amin tidak membeli buku
2.      4 + 5 ¹ 9 atau 9 bukan suatu bilangan prima
3.      7 tidak lebih dari 5 atau 6 bukan bilangan komposit
Selanjutnya kita akan membicarakan negasi dari disjungsi dua pernyataan. Perhatikan contoh berikut ini.
Misalnya,
a = 8 adalah suatu bilangan prima (S)
~a = 8 bukan suatu bilangan prima (B)
b = 20 terbagi habis oleh 4 (B)
~b = 20 tidak terbagi habis oleh 4 (S)
Maka,
a Ú b                bernilai B, maka ~(a Ú b) bernilai salah
~a Ú ~b           bernilai B maka ~ (a Ú b) ¹ ~a Ú ~b
~a Ú ~b           bernilai S, dan nilai kebenaran dari ~(a Ú b) sama dengan nilai kebenaran dari ~a Ù ~b
Kesimpulan ini secara umum akan kita periksa dengan menyusun tabel nilai kebenarannya berikut.
Tabel 4. Nilai kebenaran negasi dari disjungsi.
A
B
~a
~b
a Ú b
~(a Ú b)
~a Ù ~b
B
B
S
S
B
S
S
B
S
S
B
B
S
S
S
B
B
S
B
S
S
S
S
B
B
S
B
B

Penentuan nilai-nilai kebenaran dalam tabel ini mirip penyusunan tabel 3, dimulai dari kolom ~a terus ke kanan hingga kolom ~a Ù ~b. Tampak bahwa pada tabel 4 bahwa urutan nilai-nilai kebenaran dari ~(a Ú b) sama dengan urutan nilai-nilai kebenaran dari ~a Ù ~b. Sehingga  dapat disimpulkan bahwa:
~(a ~(a Ú b) = ~a Ù ~b

Negasi dari disjungsi dua pernyataan sama dengan konjungsi dari negasi pernyataan-pernyataan tunggalnya.

4.      Implikasi dan Biimplikasi
Perhatikan contoh berikut ini!
“Jika Ani lulus ujian maka Ani diajak bertamasya”.
Kalimat ini merupakan pernyataan majemuk. Pernyataan-pernyataan tunggalnya adalah “Ani lulus ujian” dan “Ani diajak bertamasya”. Kata penghubung adalah “jika…. maka….”. pernyataan majemuk seperti ini disebut implikasi. Apabila pernyataan “Ani lulus ujian” dilambangkan dengan “a” dan “Ani diajak bertamasya”  dilambangkan dengan “b”, serta lambing untuk kata penghubung “jika….maka….” adalah “Þ”, selanjutnya pernyataan “jika Ani lulus ujian maka Ani diajak bertamasya” dilambangkan dengan “a Þ b” (dibaca “jika a maka b”)
Pada implikasi “a Þ b”, pernyataan tunggal “a” disebut pendahulu (antesendent) dan pernyataan “b” disebut pengikut (consequent). Nilai kebenaran suatu implikasi tergantung pada nilai kebenaran dari pendahulu dan pengikutnya, yaitu mengikuti aturan sebagai berikut.

Suatu implikasi bernilai S bahwa hanya apabila pendahulunya bernilai B dan pengikutnya bernilai S. (untuk nilai-nilai kebenaran pendahulu dan pengikutnya yang lain, implikasi itu bernilai B)

Apabila pendahulunya diberi lambing “a” dan pengikutnya diberi lambang “b” maka nilai kebenaran implikasi “a Þ b” dapat dinyatakan dalam tabel nilai kebenaran seperti berikut ini.
Tabel 5. Nilai kebenaran implikasi
a
b
a Þ b
B
B
B
B
S
S
S
B
B
Contoh.
1.      a = 9 adalah suatu bilangan kuadrat. (B)
b = 6 mempunyai dua factor prima. (B)
a Þ b = jika 9 adalah suatu bilangan kuadrat maka 6 mempunyai dua factor prima. (B)
2.      a = 9 adalah suatu bilangan kuadrat. (B)
b = Tuti adalah presiden RI. (S)
a Þ b = jika 9 adalah suatu bilangan kuadrat maka Tuti adalah presiden RI. (S)
Perhatikan lagi tabel 5 di atas. Pengikut “b” pada baris ke 1 dan baris ke 3 masing-masing bernilai B  dan nilai kebenaran dari implikasi “a Þ b” bernilai B pula meskipun pendahulu “a” bernilai B maupun S. hal ini dapat disimpulkan bahwa.
Apabila pengikut suatu implikasi bernilai B maka implikasi itu bernilai B, tanpa memperhatikan nilai kebenaran dari pendahulunya.

Pada baris ke 3 dan ke 4 dari tabel 5 menyatakan bahwa pendahulu  “a”  bernilai S  dan  implikasi “a Þ b” bernilai B pula meskipun pengikut “b” bernilai B maupun S. Hal ini dapat disimpulkan sebagai berikut.
Apabila pendahulu suatu implikasi bernilai S maka implikasi itu bernilai B, tanpa memperhatikan nilai kebenaran dari pengikutnya.

5.      Negasi suatu implikasi
Perhtikan implikasi berikut ini
“Jika 7 suatu bilangan prima maka 8 lebih besar dari 5”
Misalkan , a = 7 suatu bilangan prima (B)
                        b = 8 lebih besar dari 5 (B)
maka, implikasi “a Þ b” bernilai B
            ~a = 7 bukan suatu bilangan prima (S)
            ~b = 8 tidak lebih besar dari 5 (S)
maka implikasi “~a Þ ~b”  (B)
Karena “a Þ b” dan “~a Þ ~b” masing-masing bernilai B maka “~a Þ ~b” bukan negasi dari “a Þ b”.


Tabel 6. Untuk menentukan negasi dari suatu implikasi perhatikan tabel nilai kebenaran berikut ini
A
b
~b
a Þ b
~(a Þ b)
a Ù ~b
B
B
S
B
S
S
B
S
B
S
B
B
S
B
S
B
S
S
S
S
B
B
S
S

Tampak pada tabel bahwa urutan nilai kebenaran dari “~(a Þ b)” sama dengan urutan nilai kebenaran dari “a Ù ~b”. hal ini dapat dikatakan bahwa negasi dari suatu implikasi adalah suatu komjungsi dari pendahulu dan negasi pengikut implikasi itu
~(a Þ b) = a Ù ~b
Suatu implikais, selain dapat dibentuk konversnya, dapat pula dibentuk implikasi baru lainnya. Perhatikan contoh implikasi berikut ini!
“Jika Ani dapat megendarai sepeda maka Ani mendapat hadiah”.
Misalnya,   a : Ani dapat mengendarai sepeda
                        b : Ani mendapat hadiah.
Negasi dari pernyataan-pernyataan itu adalah
~a : Ani tidak dapat mengendarai sepeda
~b : Ani tidak mendapat hadiah.
Implikasi baru yang ingin dibentuk “~a Þ ~b”, yaitu “ Jika Ani tidak dapat mengendarai sepeda  maka Ani tidak mendapat hadiah “. Implikasi baru ini disebut Invers dari implikasi semula.
Invers dari “a  Þ b” adalah “~a Þ ~b”


Contoh:
Tuliskan invers dari implikasi-implikasi berikut ini dan tentukan nilai kebenaran dari implikasi  dan inversnya!
a.       Jika Denpasar terletak di pulau Jawa maka Surabaya Ibu Kota provinsi Jawa Timur
b.      Jika 5 adalah suatu faktor prima dari 30 maka 30 adalah kelipatan dari 5.
Jawab:
a.       Nilai kebenaran dari implikasi itu adalah B. Inversnya adalah “Jika Denpasar tidak terletak di pulau Jawa maka Surabaya bukan Ibu Kota provinsi Jawa Timur” bernilai S.
b.      Nilai kebenaran dari implikasi itu adalah B. Inversnya adalah “Jika 5 bukan faktor prima dari 30 maka 30 bukan kelipatan dari 5” bernilai B.
Dari suatu implikasi, selain dapat dibentuk konvers dan inversnya, dapat pula dibentuk implikasi baru yang lain. Yaitu pendahulu dan pengikutnya dari implikasi yang diketahui masing-masing dinegasikan dan selanjutnya ditukar tempatnya. Implikasi baru yang terbentuk ini disebut Konrapositif dari implikasi yang diketahui.
Untuk memperjelas hal ini, perhatikan contoh implikasi berikut ini.
“Jika Dita rajin belajar maka Dita naik kelas. Misalkan, a : Dita rajin belajar, b : Dita naik kelas.
Nagsi dari pernyataan-pernyataan tersebut adalah
~a : Diat tidak rajin belajar
~b : Dita tidak naik kelas
Implikasi tersebut dapat ditulis dengan lambing “a Þ b”, kontrapositif dari implikasi ini adalah ~b Þ ~a, yaitu “Jika Dita naik kelas maka Dita tidak rajin belajar”.
Kontrapositif  dari “a Þ b”  adalah ~b Þ ~a


Contoh:
Tentukan nilai kebenaran dari implikasi-implikasi berikut ini. Tentukan pula kontrapositif dan nilai kebenaran dari kontrapositif dari:
a.       Jika 6 suatu bilangan prima maka 15 terbagi habis oleh 6
b.      Jika Jakarta Ibu Kota RI maka Medan terletak di Irian Jaya
Jawab:
a.       Implikasi itu bernilai B karena baik pendahulu maupun pengikutnya, masing-masing bernilai S. Kontarpositifnya adalah “jika 15 tidak terbagi habis oleh 6 maka 6 bukan suatu bilangan prima” dan mempunyai nilai kebenaran B
b.      Implikais bernilai S karena pendahulu bernilai B dan pengikutnya bernilai S. Kontrapositifnya adalah “jika Medan tidak terletak di Irian Jaya maka Jakarta buka Ibu Kota RI dan mempunyai nilai kebenaran S.
Dari contoh-contoh ini tampak bahwa nilai kebenaran dari suatu implikasi selalu sama dengan nilai kebenaran dari kontrapositif. Untuk menyakinkan simpulan ini, kita dapat menyusun table nilai kebenarannya.
Tabel 7. Hasil kebenaran dari kontrapositif dari implikasi
A
b
~a
~b
a Þ b
~b Þ ~a
B
B
S
S
B
B
B
S
S
B
S
S
S
B
B
S
B
B
S
S
B
B
B
B

Tampak pada Tabel 7 ini bahwa urutan nilai kebenaran dari implikasi “a Þ b” kontrapositifnya, yaitu “ ~b Þ ~a”.
(a Þ b) = (~b Þ ~a)



Nilai kebenaran dari suatu implikasi sama dengan nilai kebenaran dari kontrapositifnya

Contoh:
Tentukan konvers, invers, dan kontrapositif dari implikasi berikut ini!
a.       ~p Þ q
b.      p Þ ~q
c.       ~p Þ ~q
d.      a Þ ~(b Ù c)
e.       ~a Þ ~(b Ú c)
Jawab:

Konvers
Invers
Kontrapositif
A
q Þ ~p
p Þ ~q
~q Þ p
B
~q Þ p
~p Þ q
q Þ ~p
C
~q Þ ~p
p Þ q
q Þ p
D
~(b Ù c) Þ a
~a Þ (b Ù c)
(b Ù c) Þ ~a
E
~(b Ú c) Þ ~a
a Þ (b Ú c)
(b Ú c) Þ a

6.      Biimplikasi
Perhatikan implikasi “a Þ b” dan konversnya “b Þ a”. Dibentuk konjungsi antara implikasi dan konversnya tersebut, yaitu “(a Þ b) Ù (b Þ a)”. Kita akan menetukan nilai kebenaran konjungsi ini jika diketahui nilai-nilai kebenaran dari a dan b dengan menyusun table nilai kebenaran sebagai berikut.



Tabel 8. Nilai kebenaran dari a dan b
a
b
a Þ b
b Þ a
(a Þ b) Ù (b Þ a)
B
B
B
B
B
B
S
S
B
S
S
B
B
S
S
S
S
B
B
B

Memperhatikan nilai-nilai kebenaran dari “(a Þ b) Ù (b Þ a)” dan nilai-nilai kebenaran “a” dan “b” pada Tabel 8 kita dapat menyimpulkan bahwa nilai kebenaran dari “(a Þ b) Ù (b Þ a)” hanya B apabila nilai kebenaran “a” sama dengan nilai “b” , dan bernilai S apabila nilai-nilai kebenaran “a” dan “b” berbeda.
Selanjutnya konjungsi “(a Þ b) Ù (b Þ a)” ditulis secara singkat menjadi “a Û b”. (dibaca “a jika dan hanya jika b”)  dan disebut biimplikasi dari a dan b.
(a Þ b) Ù (b Þ a) = a Û b

Oleh karena itu, nilai kebenaran dari “(a Þ b) Ù (b Þ a)” sama dengan nilai kebenaran dari ”a Û b”, yaitu
Nilai kebenaran dari “a Û b” adalah B, hanya apabila nilai kebenaran dari a sama dengan nilai kebenaran dari b, [dan bernilai S, apabila nilai kebenaran a berlainan dengan nilai kebenaran dengan b].

Nilai kebenaran dari “a Û b” dapat disusun dalam table kebenaran sebagai berikut.
Tabel 9. Nilai kebenaran biimplikasi
a
b
a Û b
B
B
B
B
S
S
S
B
S
S
S
B


Catatan: “jika dan hanya jika” disingkat dengan “jhj”
Contoh:
Tentukan nilai kebenaran dari biimplikasi berikut ini!
a.       8 + 7 = 15 jika dan hanya jika 15 > 2 + 8
b.      7 membagi habis 15 jika dan hanya jika 7 suatu bilangan prima
Jawab:
a.       B
b.      S

7.      Negasi dari suatu biimplikasi
Perhatikan contoh biimplikasi “7 suatu bilangan prima jhj 7 membagi habis 42”. Biimplikasi ini bernilai B karena dua pernyataan tunggalnya masing-masing bernilai B. Apabila masing-masing pernyataan tunggal tersebut dinegasi dan dibentuk biimplikasi baru, yaitu “7 bukan suatu bilangan prima jhj 7 tidak membagi habis 42” maka biimplikasi baru ini bernilai B pula. Sehingga dapat disimpulkan bahwa biimplikasi baru ini bukan negasi dari biimplikasi semula. Mengapa?
Jika biimplikasi semula dinyatakan sebagai “a Û b” maka “~(a Û b) buka “~a Û ~b”.
Apakah negasi dari “a Û b”?
Biimplikasi “a Û b” adalah singkatan dari “(a Þ b) Ù (b Þ a)” maka
~(a Û b)         = ~[( a Þ b) Ù (b Þ a)]
                              = ~(a Þ b) Ú ~(b Þ a)           (negasi konjungsi)
                              = (a Ù ~b) Ú (b Ù ~a)              (negasi implikasi)

~(a Û b) = (a Ù ~b) Ú (b Ù ~a)
     
Untuk menyakinkan kebenaran dari penjabaran di atas, kita periksa dengan table kebenaran berikut ini.


Tabel 10. Nilai kebenaran Negasi Biimplikasi
a
b
~a
~b
a Û b
a Ù ~b
 b Ù ~a
~(a Û b)
(a Ù ~b) Ú (b Ù ~a)
B
B
S
S
B
S
S
S
S
B
S
S
B
S
B
S
B
B
S
B
B
S
S
S
B
B
B
S
S
B
B
B
S
S
S
S

Tampak pada Tabel 10 bahwa urutan nilai kebenaran dari ~(a Û b) sama dengan urutan nilai kebenaran dari (a Ù ~b) Ú (b Ù ~a).
Contoh:
Tuliskan negasi dari biimplikasi berikut ini.
a.       7 suatu bilangan prima jhj 7 membagi habis 42
b.      Amin dibelikan sepeda jhj Amin tidak nakal
Jawab:
a.       7 suatu bilangan prima dan 7 tidak membagi habis 42, atau 7 membagi habis 42 dan 7 bukan bilangan prima.
b.      Amin dibelikan sepeda dan Amin nakal atau Amin tidak nakal dan Amin tidak dibelikan sepeda.



BAB III
FUNGSI MATEMATIKA


 
3.1              Pengertian Relasi

Dalam kehidupan sehari-hari, istilah  relasi bukanlah suatu yang asing kita dengar. Misalnya sebutan tentang “ relasi bisnis ” dan sebagainya. Apa sebenarnya yang dimaksd dengan relasi? Relasi berarti hubungan, dalam matematika yang dimaksud dengan relasi adalah hubungan anggota dari suatu himpunan dengan himpunan yang lainnya.
Misalkan diketahui bahwa, Aliefa gemar belajar matematika dan Al-qur’an, Auliya gemar belajar fisika dan fiqih, Wadi’ gemar belajar Alqur’an dan fiqih, sedangkan Sahrul gemar belajar fisika dan tafsir.  Dari informasi tersebut kita dapat membentuk dua buah himpunan sebagai berikut:
A = { Aliefa, Auliya, Wadhi’, Syahrul}  dan B = {Matematika, Fisika, Al-Qur’an, Fiqih, Tafsi}. Dari kedua himpunan tersebut dapat dibentuk relasi  Kegemaran Belajar” sebagai berikut:
Pada relasi di atas, himpunan A disebut sebagai domain atau daerah asal dan himpunan B disebut sebagai kodomain atau daerah kawan.  Relasiyang lain dapat dibentuk dengan cara menentukan himpunan B sebagai domain dan A sebagai kodomain sebagai berikut:
3.2              Definisi Fungsi
Dalam kehidupan sehari-hari, tentunya kita amat sering mendengarkan atau menggunakan ungkapan fungsi. Dalam konsep matematika, pengertian fungsi dapat dipandang sebagai sebuah senapan. Fungsi/senapan  tersebut mengambil amunisi dari suatu himpunan daerah asal atau domain dan  menembakkannya pada suatu himpunan sasaran atau  kodomain. Setiap peluru  mengenai suatu titik sasaran tunggal atau dapat juga terjadi bahwa beberapa peluru mendarat pada titik yang sama. Himpunan titik-titik sasaran peluru  tersebut dinamakan sebagai range atau daerah hasil.
Definisi fungsi secara formal invers fungsi diberikan sebagai berikut:
Definsi 3.1
Sebuah fungsi f adalah suatu aturan pemetaan yang menghubungkan tiap obyek x dalam suatu himpunan yang disebut daerah asal atau domain dengan sebuah nilai unik f(x) dari himpunan kedua yang disebut daerah kawan atau kodomain. Himpunan nilai yang diperoleh pada kodomain tersebut dinamakan daerah hasil atau jelajah atau range.
Berdasarkan definisi 4.1 di atas, jelas bahwa relasi pada gambar 4.1 di atas merupakan fungsi, karena setiap unsur pada himpuan asal/domain dipetakan dengan tepat satu unsur pada daerah kawan atau kodomain. Semua anggota kodomain menjadi jelajah/range pemetaan sehingga himpunan B juga disebut sebagai range atau daerah haasil.  Sedangkan relasi sebagaimana pada gambar 4.2 di atas bukan termasuk fungsi, karena terdapat anggota himpunan asal yang dipetakkan lebih dari satu objek pada himpunan jelajah/range. 
Aturan pemetaan merupakan inti dari suatu fungsi, tetapi sebuah fungsi belum secara lengkap ditentukan sampai daerah asalnya diberikan. Perlu difahami bahwa, pengertian daerah asal atau domain dari suatu fungsi adalah himpunan unsur-unsur yang dapat memberikan fungsi tersebut memiliki nilai atau terdefinisi. Sedangkan daerah hasil adalah himpunan nilai-nilai yang dapat diperoleh berdasarkan aturan pemetaan fungsi tersebut dari daerah salalnya.
Contoh:
Misalkan didefinisikan  A = {x/ x < 5, x bilangan Asli} dan B adalah himpunan bilangan bulat. Tentukan domain, kodomain, range dan lukiskan model fungsi yang terjadi apabila bentuk pemetaan fungsi dari A à B dirumuskan oleh f(x) = x2 + 1
Solusi:
Dari permasalahan jelas diketahui bahwa
Domain adalah A = {1, 2, 3, 4}
Kodomain adalah B = {. . ., -2, -1, 0, 1, 2}
Model pemetaan fungsi yang terjadi  dengan  rumus fungsi f(x) = x2 + 1 adalah
A                                 B
1 ---------------> 12 + 1 = 2      
2 ---------------> 22 + 1 = 5
3 ---------------> 32 + 1 = 10
4 ---------------> 42 + 1 = 17


Dari pemetaan di atas, dapat kitehui bahwa himpunan hasil  dari fungsi  f(x)  pada himpunan bilangan bulat adalah  H = {2, 5,10,17}.

3.3              Metode Penulisan Fungsi
Dalam penulisan fungsi, secara umum ada 4 cara, yakni dengan menuliskan pasangan terurut, diagram  panah,  tabel  dan grafik. Berikut diberikan teladan dari masing-masing metode tersebut.
Contoh:
Misalkan kita cermati Alqur’an, terdapat berbagai macam  relasi yang merupakan fungsi. Misalkan setiap Al-qur’an mengungkapkan tentang Solat, umumnya dirangkai dengan zakat. Setiap Alqur’an Mengungkapkan tentang iman, umumnya dirangkai dengan amal soleh, Dari konsep tersebut ada dua buah bentuk himpunan yang dapat kita kontruksi, yakni
X = himpunan hungunan sesame manusia = {amal soleh, zakat}
Y = himpunan hungan kepada Allah = { Iman, Solat}
Dari himpunan X dan Y dapat dikontruksi fungsi X terhadap Y sebagai berikut:
1.      Metode diagram panah
2.      Metode pasangan terurut
f : {(amal soleh, iman), ( zakat, iman)}
3.      Metode tabel
X
Amal Soleh
Zakat
Y
Iman
Solat



4.      Metode Grafik

3.4               Invers Fungsi
Invers berarti kebalikan sehingga invers fungsi berarti kebalikan fungsi.  Untuk memahami invers fungsi, perhatikan fungsi f: A à B berikut
Fungsi tersebut jika dibalik akan terjadi pemetaan dari B à A dan pemetaan ini merupakan sebuah fungsi.

Bentuk pemetaan balikan fungsi f:A à B menjadi B à A dan karena pemetaan dari B à A merupakan suatu fungsi, maka disebut sebagai invers fungsi f  ditulis sebagai f-1: B à A.
Contoh:
Perhatikan kembali pemetaan pada teladan 4.1 gambar 4.1 di atas, yakni
Jika pemetaan tersebut dibalik, maka diperoleh pemetaan sebagaimana pada telada 4.1 gambar 4.2 sebagai berikut:
Jelas bahwa pemetaan balikan B à A bukan suatu fungsi, karena terdapat anggota B yang dipetakan lebih dari satu pada himpunan A. Kenyataan ini menyebabkan fungsi f:A à B dinyatakan tidak memiliki invers. Secara formal invers fungsi didefinisikan sebagai berikut:
Definisi 3.2: Invers Fungsi
Sebuah fungsi dikatakan dapat dibalik atau memiliki invers jika  juga merupakan fungsi.

Contoh:
Tentukan domain dan range fungsi berikut kemudian selidiki apakah f memiliki invers. Jika memiliki tentukan domain dan  range inversnya.
a.       f(x) = x + 1
b.     
c.      
d.     
Solusi:
a.       f(x) = x +1
Domain dari fungsi f(x) adalah semua himpunan bilangan real. Secara matematis ditulis sebagai  Df = (-∞, ∞). Domain ini diperoleh dari kenyataan jika x digantikan dengan semua bilangan real, maka insyaAllah f(x) akan diperoleh hasilnya. Misalnya untuk x = 0, maka f(x) = 1, untuk x = 0,5 maka f(x) = 1,5 , jika x = -2 maka f(x) = -1 dan seterusnya.
Adapun  range dari f(x) adalah semua bilangan real juga. Secara matematis ditulis sebagai  Rf = (-∞, ∞). Hal ini disebabkan karena dengan kita menggantikan x oleh bilangan real,InsyaAllah hasilnya juga bisa auntuk semua bilangan real.
Selanjutnya untuk mendapatkan inversnya, diperhatikan bentuk fungsi f(x) = x + 1. Jika kedua ruas persamaan tersebut dikurangi dengan satu, maka diperoleh  x = f(x) - 1  sehingga f--1(x) = x – 1
Jelas bahwa  domain dari f-1 adalah   dan Range f-1 adalah h .
Dengan menerapkan symbol-simbol matematis, penyelesaian sebagaimana uraian di atas dapat dituliskan secara sederhana sebagai berikut:
f(x) = x +1 dan

b.     
Domain dari fungsi di atas adalah semua bilangan  real kecuali bilangan 3/2. Hal ini disebabkan karena jika 3/2 menggantikan posisi x, maka 3 – 2x = 0. Hal ini akan menyebabkan hasil bagi tidak terdefinisi atau fungsi tidak akan  memiliki hasil. Secara matematis domain fungsi ditulis sebagai Df = {x/x bilangan ral dan x ≠ 3/2}.
Sedangkan unntuk mendapatkan range dari fungsi tersebut, perlu dilakukan analisis dengan menerapkan invers fungsi untuk menentukan nilai dari f(x) sebagai berikut:
Dari bentuk terakhir  jelas bahwa untuk x bilangan real, maka haruslah f(x) bilangan real kecuali -1. Hal ini disebabkan karena jika f(x) = -1, maka bentuk penyebut -2 f(x) – 2 = 0. Jika ini terjadi maka x akan tidak terdefinisi pada bilangan real. Oleh karena itu maka range dari f(x) adalah semua bilangan real kecuali -1 atau secara matematis ditulis sebagai Rf = {x/x bilangan real dan x ≠-1}.
Selanjutnya invers fungsi dari  dapat kita ketahui dari bentuk di atas yang merupakan bentuk balikannya.  Dengan  menggantikan symbol tersebut untuk  f(x) menjadi x dan x menjadi f-1 maka diperoleh  . Domain dari f-1 adalah . Sedangkan range dari f-1 adalah .
Dengan menerapkan symbol-simbol matematis, penyelesaian sebagaimana uraian di atas dapat dituliskan secara sederhana sebagai berikut:

c.      
Memperhatikan bentuk fungsinya, jelas bahwa Df = {x/x bilangan real}, karena apabila x diganti dengan semua bilangan nyata, insyaAllah akan dapat diperoleh hasil pemetaan. Untuk mendapatkan  range dari f, perlu dilakukan analisis invers fungsi sebagai berikut:
Dari bentuk , maka jelas bahwa agar x bernilai real haruslah  . Dengan menyelesaikan  ketaksamaan tersebut diperoleh  . Jadi range dari f adalah semua bilangan real yang lebih besar atau sama dengan 1. Secara matematis ditulis Rf = {x/x≥ 1}.
Selanjutnya untuk mendapatkan invers  fungsi dari dapat diperoleh dari hasil balikannya, yakni . Jadi invernya adalah . Domain dari  f--1 adalah . Sedangkan range dari f--1 , dapat diperoleh dari kenyataan bahwa bentuk tidak mungkin akan bernilai negative untuk x≥ 1. Nilai minimal yang diperoleh adalah 0. Jadi .
Dengan menerapkan symbol-simbol matematis, penyelesaian sebagaimana uraian di atas dapat dituliskan secara sederhana sebagai berikut:

d.     
Memperhatikan fungsi tersebut jelas bahwa, agar fungsi f bernilai real, haruslah  x-5 ≥  0. Hal  ini menyebabkan  x ≥ 5. Jadi Df = {x/ x ≥ 5}. Selanjutnya analisis range fungsi f dilakukan sebagai berikut:
Untuk x = 5, maka , dan untuk  x > 5, maka jelaslah  f(x) > 0. Kenyataan  ini memberikan  rumusan himpunan range untuk f adalah himpunan bilangan real yang lebih besar atau sama dengan nol. Secara matematis ditulis sebagai Rf = {x/ x ≥ 0}.
Analisis invers, domain invers dan range invers diberikan kepada mahasiswa sebagai latihan.
3.5              Operasi Fungsi
Sebagaimana pada himpunan dan bilangan, pada fungsi juga dapat berlaku operasi aritmatik yang meliputi operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Pada fungsi juga terdapat operasi selain aritmatik, yakni operasi komposisi. Untuk membangun pemahaman, berikut diberikan  penjelasan secara singkat operasi aritmatik dan komposisi fungsi.
1.                  Operasi Aritmatik
Operasi aritmatik fungsi meliputi konsep penjumlahan, pengurangan, pembagian dan perkalian. Berikut diberiken definisi dan contoh.



Definisi 3. 3 Operasi Aritmatik Fungsi
Misalkan f dan g terdefinisi pada himpunan D, maka
1.      (f  + g) (x) = f(x) + g(x), untuk setiap x Î D.
2.      (f  -  g) (x) = f(x) - g(x), untuk setiap x Î D.
3.      (f . g) (x) = f(x) . g(x), untuk setiap x Î D.
4.       (k . f) (x) = k. f(x), untuk setiap x Î D dan k adalah konstanta.
5.      , untuk setiap x Î D dan g(x) ¹ 0.
Jika domain f adalah Df dan domain g adalah Dg maka domain untuk operasi fungsi f dan g diatas adalah Df Ç Dg.

Contoh:
Jika f(x) =  dan g(x) = , maka dengan masing-masing fungsi tersebut adalah Df = {x | x ¹ -1} dan Dg = {x | x ¹ 0}, maka dapat ditentukan operasi fungsi  sebagai berikut :
1.      (f  + g) (x) = f(x) + g(x)
                        =  + =, dengan Df + g = R – {-1,0}
2.      (f  -  g) (x) = f(x) - g(x)
                        =   -  = , dengan Df – g = R – {-1, 0}
3.      (f . g) (x) = f(x) . g(x)
                      =    = , dengan Df . g = R – { -1, 0}
4.     
                     =  = , dengan Df / g = R – {-1}
5.      (5. f) (x) = 5 . f(x)
                     = 5  = , dengan D5.f = R – {-1}.
Bila dua fungsi terdefinisi pada himpunan yang sama dan nilai fungsinya juga sama pada himpunan itu, maka kedua fungsi tersebut kita katakan sama yang secara matematis didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 3.4 Kesamaan Fungsi
Fungsi f dan g dikatakan sama (ditulis f º g), jika Df = Dg dan f(x) = g(x), untuk setiap x Î D.

Contoh:
Untuk fungsi f(x) = 1 dan fungsi g(x) = x / x, kedua fungsi ini tidak sama karena tidak terdefinisi pada himpunan yang sama. Tetapi bila domainnya dibatasi pada  (0, µ) maka f º g pada (0, µ).
2.      Komposisi Fungsi
Misalkan dan adalah fungsi, maka komposisi dari  f dan g  ditulis  adalah fungsi dari A ke C. Jika aA dan b = f(a)   B sedangkan c = g(b)   C,  maka ()(a) = g(f(a)); sehingga ()(a) = g(f(a)) = g(b) = c.  Berikut diberikan ilustrasi gambar komposisi fungsi fog.




Definisi 3.5 Fungsi f komposisi g (f o g)
Jika fungsi f dan g memenuhi Rg Ç Df ¹ Æ maka terdapat fungsi dari himpunan bagian Dg ke himpunan bagian Rf. fungsi ini dinamakan komposisi dari f dan g, ditulis fog (bearti g dilanjutkan f) dengan persamaan yang ditentukan ole (f o g)(x) = f(g(x)). Domain  f o g adalah :  Df o g ={xÎDg | g(x)ÎDf}. dan range nya adalah : Rf o g ={f(x) Î Rf | x Î Rg}.

Definisi 3.6 Fungsi g komposisi f (fog)
Jika fungsi f dan g memenuhi Rf Ç Dg ¹ Æ maka terdapat fungsi dari himpunan bagian Df ke himpunan bagian Rg. fungsi ini dinamakan komposisi dari g dan f, ditulis gof (bearti f dilanjutkan g) dengan persamaan yang ditentukan oleh (g o f)(x) = g(f(x)). Domain g o f adalah : Dg o f ={x Î Df | f(x) Î Dg}. dan range nya adalah :Rg o f ={g(x)ÎRg | x Î Rf}

Contoh:
Diketahui f(x) =  dan g(x) = 1 + x2.
a.       Perlihatkan bahwa fungsi g o f dan f o g terdefinisi
b.      Tentukan persamaan fungsi g o f dan f o g
c.       Tentukan domain dan range fungsi g o f dan f o g.
Penyelesaian:                                                              
f(x) =  , maka Df = [-1, µ) dan Rf = [0, µ)
g(x) = 1 + x2, maka Dg = R dan Rg = [1, µ)
karena Rf Ç Dg = [0, µ) Ç R  = [0, µ) ¹ Æ, maka g o f terdefinisi.
Dan karena Rg Ç Df = [1, µ) Ç [-1, µ) = [1, µ) ¹ Æ, maka f o g terdefinisi.
a.       Persamaan fungsi :
(g o f)(x) = g(f(x)) = g() = 1 + ()2 = 2 + x, dan
(f o g)(x) = f(g(x)) = f(1 + x2) =  = .
b.      Domain dan range fungsi :
1.      Fungsi g o f.
a.       Dg o f, maka akan ditentukan x terhadap Rf Ç Dg
0 £  < µ, maka 0 £ 1 + x < µ, maka -1 £ x < µ,                                sehingga Dg o f = [-1, µ]
b.      Rg o f , maka akan ditentukan g(x) terhadap Rf
0 £ x < µ, maka 0 £ x2< µ, maka 1£ 1+ x2<µ, maka 1£ g(x)< µ, sehingga Rg o f = [1, µ).
2.      Fungsi f o g.
a.    Df o g, maka akan ditentukan x terhadap Rg Ç Df
1 £ 1 + x2 < µ, maka 0 £ x2 < µ, maka 0 £ x < µ,                                sehingga Df o g = [0, µ]
b.      Rf o g , maka akan ditentukan f(x) terhadap Rg
1 £ x < µ, maka 2 £  1 + x < µ, maka  £  < µ,                                 maka  £ f(x) < µ, sehingga Rf o g = [, µ).
3.6              Jenis-jenis fungsi
Jenis-jenis fungsi sangat banyak, akan tetapi dalam kuliah pengantar dasar matematika ini akan disampikan beberapa fungsi dasar yang umumnya digunakan. Penguasaan berbagai jenis fungsi sangat membantu dalam menyelesaikan masalah kehidupan maupun penelitian.  Berikut diberikan berbagai jenis fungsi, nama rumus fungsi dan model grafiknya.
3.6.1        Fungsi Linier
Linier berarti lurus, sehingga fungsi linier adalah fungsi yang berbentuk seperti garis lurus.
Persamaan umum fungsi linier sebagai berikut:
f(x) = ax + b dengan a adalah koefesien dan b adalah konstanta atau bilangan. Model grafik dari fungsi linier ini adalah sebagai berikut:
3.6.2        Fungsi Kuadrat
Kuadrat berarti pangkat dua, sehingga fungsi kuadarat berarti fungsi pangkat dua. Bentuk umum fungsi kuadrat adalah f(x) = ax2 + bx +c dengan a, b koefesien dan c konstanta. B. Contoh grafik sebagai berikut:
3.6.3        Fungsi Kubik
Kubik berarti pangkat tiga sehingga fungsi kubik merupakan fungsi berpangkat tiga. Persamaan umum fungsi kubik f(x) = ax3 + bx2 + cx + d dengan a, b, c koefesien dan d konstanta. Contoh grafik sebgai berikut:
3.6.4        Fungsi eksponensial
Eksponensial berasal dari kata eksponen yang berarti pangkat. Pangkat disini mengacu  kepada pangkat dari bilangan eksponensial. Bilangan eksponensial disimbolkan dengan e yang nilainya adalah e = 2.7183. Bentuk umum dari fungsi eksponensial adalah  f (x) = eax dengan model grafik fungsi eksponensial adalah
3.6.5        Fungsi Normal
Normal berarti kebiasaan umumnya fenomena alam terjadi, sehingga fungsi normal berarti fungsi yang menggambarkan kebiasaan umumnya fenomena alam terjadi.  Persamaan umum fungsi normal adalah   
Dengan , e= 2.7183
             = rata-rata keseluruhan kejadian,
            = penyimpangan data terhadap rata-rata keseluruhan kejadian  
 Bentuk grafik dari fungsi normal ini adalah

3.6.6        Fungsi sinus
Fungsi sinus merupakan fungsi yang dikonstruksi dari trigonometri. Persamaan umumnya adalah f(x) = sin x dengan model grafiks sebagai berikut:


BAB IV
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN


 
4.1           Persamaan Linier
Dasar suatu persamaan adalah sebuah pernyataan matematika yang terdiri dari dua ungkapan pada ruas kanan dan ruas kiriyang dipisahkan oleh tanda “=” (dibaca saama dengan). Hal yang tak diketahui dalam sebuah persamaan disebut variable, sedangkan persamaan yang memuat variable berpangkat satu disebut persamaan linear.
Contoh
1.      x = 10
2.      4x +1 = 15
3.      3x +2 = x + 20
Sebuah penyelesaian di suatu persamaan berupa bilangan yang jika disubtitusikan pada variable menghasilkan sebuah pernyataan yang benar.
Contoh
1.      5x = 45, persamaan ini mempunyai penyelesaian bilangan 9, sebab 5(9) = 45 adalah benar. Bilangan -8 bukan sebuah penyelesaian dari 5x = 45, sebab 5(-8) = -40 adalah salah.
2.      3z +12 = 2z + 7 jika kita selesaikan persamaan ini mempunyai penyelesaian -5 sebab 3(-5) +12 = 2(-5) + 7
4.1.1        Penjumlahan dan Perkalian
Ada dua prinsip yang diperbolehkan kita untuk menyelesaikan bermacam-macam persamaan.

Pertama, Prinsip penjumlahan
Untuk sebarang bilangan real a, b, dan c, jika a = b maka
a + c = b + c
a – c = b – c
Kedua, Prinsip perkalian
Untuk sebarang bilangan real a, b, dan c, jika a = b maka a × c = b × c
 , benar, dengan c ¹ 0.
Contoh
Selesaikanlah 3x + 19 = 31
Penyelesaian
3x + 19 = 31
3x + 19 + (-19) = 31 + (-19)    menggunakan prinsip penjumlahan
3x = 12                        kedua ruas kita tambahkan dengan -19
 3x =  12            menggunakan prinsip perkalian, kedua ruas kita kalikan dengan
x = 4
contoh 4
selesaikanlah 3(y – 1) – 1 = 2 – 5(y + 5)
penyelesaian
 3(y – 1) – 1 = 2 – 5(y + 5)
3y – 3 – 1 = 2 – 5y – 25                      (distribusi)
3y – 4 = -5y – 23
3y – 4 + 4 = -5y – 23 + 4         kedua ruas kita tambahkan +4
3y = -5y – 19
3y + 5y = -19 – 5y + 5y                       kedua ruas kita tambahkan +5y
8y = -19
 8y =  (-19)                    kedua ruas kita kalikan
y =  
4.1.2 Persamaan Ekuivalen
Kita akan membicarakan persamaan ekuivalen dan persamaan ekuivalen ini didefinisikan sebagai berikut
Persamaan yang mempunyai himpunan penyelesaian yang sama kita sebut persamaan ekuivalen.
Contoh
4x = 16;  -5x = -20; 2x + 7 = 15; 3x – 5 = x + 3
Keempat persamaan tersebut ekuivalen karena himpunan penyelesaiannya sama, yaitu {x½x = 4}.
8M = 9
       8M =  (9)                            kedua ruas kita kalikan
M =  
Contoh
Selesaikan
Penyelesaian
                 kedua ruas kita kalikan dengan
x + 4 = -1
x + 4 + (-4) = -1 + (-4)                             kedua ruas kita kalikan dengan (-4)   
x = -5
4.2              Pertidaksamaan Linier
Istilah-istilah seperti lebih dar, kurang dari, lebih besar, lebih kecil, lebih tinggi, tidak sama, sudah menjadi bahasa sehari-hari dalam masyarakat. Istilah-istilah tersebut dalam matematika dilambangkan sebagai berikut.
Lambang pertidaksamaan
Arti
Lebih dari
Lebih dari atau sama dengan
Kurang dari
Kurang dari atau sama dengan
Tidak sama dengan

Lambing-lambang tersebut digunakan pada materi pelajaran pertidaksamaan. Pada modul ini dibahas pertidaksamaan linear satu peubah.
Pertidaksamaan linear denga satu peubah adalah pertidaksamaan yang hanya mempunyai satu peubah, misalnya x saja, y saja, atau z saja, dengan pangkat tertinggi peubahnya satu.
4.2.1        Penyelesaian Pertidaksamaan Linear dengan Satu Peubah
            Pada prinsipnya pemecahan masalah pertidaksamaan linear mirip dengan penyelesaian persamaan. Hal ini dapat kita lihat perbandingan di bawah ini.
No
Penyelesaian Persamaan
Penyelesaian Pertidaksamaan
1
Prinsip Penjumlahan
Menambahkan dengan bilangan yang sama pada kedua ruas
Prinsip Penjumlahan
Menambahkan dengan bilangan yang sama pada kedua ruas
2
Prinsip Perkalian
Kedua ruas dikalikan dengan bilangan yang sama
Prinsip Perkalian
1.   Kedua ruas dikalikan dengan bilangan positif  yang sama
2.   Jika kedua ruas dikalikan dengan bilangan negatif yang sama, tanda harus diubah dari < menjadi >, dan sebaliknya

Contoh
1.      Gunakan prinsip penjumlahan
a.       13 > 7
13 + 5 > 7 + 5                          Tambah 5 pada kedua ruas
18 > 12
b.      a + 1 < 5
a + 1 – 1 < 5 – 1                      Tambah -1 pada kedua ruas
a < 4
    
2.      Gunakan prinsip perkalian
a.       12 < 17
5(12) < 5(17)               Kalikan 5 pada kedua ruas
60 < 85
b.      10 > 4
-7(10) < -7(4)              Kalikan -7 pada kedua ruas
-70 < -28
c.       6 < 9
(6) > (9)
-2 > -3

4.2.2 Pertidaksamaan Linear Bentuk Pecahan Satu Peubah
Pertidaksamaan yang menurut ungkapan pecahan kita sebut pertidaksamaan pecahan. Untuk menyelesaikan pertidaksamaan pecahan ini kita akan sering menggunakan perkalian peubah (variable).
Contoh
Selesaikanlah 
Penyelesaian
 
              kedua ruas dikalikan dengan 12
4z > 84 – 3z
4z + 3z > 84 – 3z + 3z            kedua ruas ditambah dengan 3z
7z > 84
                        kedua ruas dikalikan dengan 
Z > 12. Himpunan penyelesaian
4.3              Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat
Persamaan yang berbentuk  ax2 + bx + c = 0  , dengan a, b, c Î Â, a ¹ 0 disebut persamaan kuadrat.
Contoh
x2 + 5x + 8 = 4 adalah persamaan kuadrat, sebab bentuknya dapat diubah menjadi  x2 + 5x + 4 = 0.
Penyelesaian dari persamaan kuadrat disebut akar-akar persamaan kuadrat. Untuk mendapatkan akar persamaan kuadrat dapat dilakukan dengan tiga cara, yaitu:
4.3.1 Pemfaktoran
Jika ax2 + bx + c = 0  dapat difaktorkan maka akar-akar persamaan kuadrat mudah didapat. Caranya memakai sifat: ”pq = 0 maka p = 0 atau q = 0, atau p dan q keduanya nol”
Contoh
Carilah akar-akar persamaan kuadrat x24x – 5 = 0
Penyelesaian
x24x – 5 = 0
Û (x – 5)(x + 1) = 0
Û x – 5 = 0 atau x + 1 = 0
Û x1 = 5 atau  x2 = -1 . Jadi himpunan penyelesaian = {-1, 5}
4.3.2 Melengkapkan kuadrat
Contoh
Carilah akar-akar persamaan kuadrat x24x – 5 = 0
Penyelesaian
x2 – 4x – 5 = 0
Û  x2 – 4x + 22 – 22 – 5  = 0
Û (x – 2)2 – 9 = 0
Û (x – 2)2 = 9
Û x – 2  = ± 3
      x = 2 ± 3
Diperoleh  x1 = 2 + 3 = 5  atau  x2 = 2 – 3 = -1. Jadi himpunan penyelesaian adalah {-1, 5}
4.3.3 Rumus Persamaan Kuadrat.
Metode yang paling umum untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan menggunakann rumus kuadrat atau sering disebut rumus abc. Rumus kuadrat diperoleh dengan proses melengkapkan kuadrat sempurna untuk persamaan kuadrat .
Prosesnya sebagai berikut:
Uraian di atas membuktikan berlakunya rumus kuadrat. Misalkan a, b, c Î Â dan  maka akar-akar persamaan kuadrat  ditentukan oleh:
Catatan:
*      x1, x2 disebut akar-akar persamaan kuadrat
*      {x1, x2} disebut himpunan penyelesaian dari persamaan kuadrat
*      b2 – 4ac disebut diskriminan, dan dinyatakan dengan D = b2 – 4ac.
*       
Contoh
Carilah akar-akar persamaan dari  x24x – 5 = 0 dengan menggunakan rumus persamaan kuadrat.
Penyelesaian
Persamaan x24x – 5 = 0 dengan a = 1, b = -4, dan c = -5
 =  = = 2 ± 3
Diperoleh  x1 = 2 + 3 = 5  atau  x2 = 2 – 3 = -1. Jadi himpunan penyelesaian adalah {-1, 5}
4.3.4 Sifat-Sifat Persamaan Kuadrat
a.       Jenis akar-akar persamaan kuadrat dikaitkan dengan nilai diskriminan
Jenis akar-akar persamaan kuadrat , ditentukan oleh nilai Diskriminannya (D) yaitu D =.
·         Jika D > 0 : mempunyai dua akar real yang berbeda
Untuk D berupa bilangan kuadrat () akarnya rasional
Untuk D bukan berupa bilangan kuadrat  akarnya rasional
·         Jika D = 0 : mempunyai dua akar real yang sama
·         Jika D < 0 : akar-akarnya imajiner (khayalan)
Contoh
Tanpa menyelesaikan persamaan  tentukan jenis akar-akarnya !
Penyelesaian:
Û   
=
= 25
=.   Jadi  mempunyai dua akar berlainan dan rasional
b.      Rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat
Akar-akar persamaan kuadrat  adalah
 atau
Jumlah dan hasil kali akar-akar ditentukan dengan memanipulasi aljabar sbb:
1.      Jumlah akar-akar persamaan kuadrat
2.      Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat
Pertidaksamaan Kuadrat
Pertidaksaman yang berbentuk , , , atau dengan a, b, c bilangan real dan disebut pertidaksamaan kuadrat. Nilai-nilai x yang memenuhi pertidaksamaan tersebut dinamakan himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat.
Carilah himpunan penyelesaian dari x23x + 2 > 0, x Î Â
Penyelesaian
x23x + 2 >0
Û x23x + 2 = 0             (langkah a)
Û (x – 1)(x – 2) = 0
Û x = 1 atau  x = 2          (langkah b)
Dalam garis bilangan
            +++++++    --------------    ++++++++         (langkah c)


 
1                                      2
        Selesaiannya adalah  x < 1 atau  x > 2.
Akar-akar ini digambarkan pada garis bilangan. Daerah pada garis bilangan diberi tanda (+) dan ( - ) sesuai dengan hasil perhitungan x23x + 2 sehingga diperoleh garis bilangan seperti berikut.
         +++++++    ------------     ++++++++         (langkah c)


 
1                             2
        Selesaiannya adalah  x < 1 atau  x > 2.               
Jadi himpunan penyelesaian adalah {x½x < 1 atau x > 2}.
Catatan
Tanda positif atau negative pada garis bilangan, diperoleh dengan memasukkan nilai bilangan pada x23x + 2
Misalnya:         Untuk x = -1 maka (-1)2 – 3(-1) + 2 = +6
                        Untuk x = 1,5 maka (1,5)2 – 3(-1,5) + 2 = -0,25
                        Untuk x = 3 maka (3)2 – 3(3) + 2 = 1
Dengan sketsa grafik fungsi kuadrat
Fungsi kuadrat yang ditentukan dengan rumus  grafiknya berbentuk parabbola dengan persamaan . Sketsa grafik parabola  diperlihatkan pada gambar berikut:
1.   Parabola di atas sumbu x (y > 0) dalam selang x < -1 atau x > 4.
Jadi  dalam selang x < -1 atau x > 4.
2.   Parabola tepat pada sumbu x (y = 0) untuk nilai x = -1 atau x=4.
Jadi  untuk nilai x = -1 atau x = 4.
3.   Parabola di bawah sumbu x (y < 0) dalam selang – 1 < x < 4.
Jadi  dalam selang – 1 < x < 4.


LATIHAN 1
Jawablah soal di bawah ini dengan benar!
Misalkan A, B, dan C adalah sembarang himpunan, buktikan bahwa
1.     
2.     
3.     
4.     
5.     
6.      Jika A, B dan C adalah himpunan-himpunan yang tidak kosong maka himpunan   akan sama dengan
a.      
b.     
c.      
d.     
7.      Jika P dan Q adalah dua himpunan yang berpotongan, maka himpunan  sama dengan
a.       P’       b. P      c. Q’    d. Q
8.      Jika  maka pernyataan yang benar adalah
a.                     
b.       
c.                      
d.     
9.      Pernyataan berikut yang benar adalah
a.      
b.     
c.      
d.      Jika , maka  dan

10.  Himpunan yang sama dengan himpunan A adalah
a.      
b.     
c.      
d.     




LATIHAN 2

Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, silahkan Anda kerjakan latihan berikut ini!
1.      Diketahui bahwa a = Siti sedang belajar, dan b = Ani sedang memasak. Notasikan kalimat berikut dengan a dan b.
a.       Siti sedang belajar hanya apabila Ani sedang memasak
b.      Jika Siti sedang belajar maka Ani tidak sedang memasak
c.       Ani tidak sedang memasak apabila Siti sedang belajar
d.      Siti tidak sedang belajar jhj Ani sedang memasak
2.      Jika pernyataan-pernyataan a, b, dan c berturut-turut mempunyai nilai kebenaran B, S, dan B, tentukan nilai kebenaran dari pernyataan majemuk berikut ini!
a.       a Þ b              b. a Þ (b Ù c)  c. b Þ ~c        d. ~a Þ b
e.       a Þ (b Ú c)      f. ~(a Ù c) Þ b            g. ~b Û (a Ù c)           h. (a Ú b) Û c
Tentukan pula pernyataan majemuk yang merupakan negasi dari pernyataan majemuk tersebut!
3.      Diketahui bahwa implikasi “p Þ q” bernilai S. Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan berikut ini!
a.       ~p Þ q                        b. p Þ ~q        c. q Þ p                      d. (p Ù q) Þ ~q
e. p Þ (p Ú ~q)     f. ~p Û q        g. q Û (p Ù ~p)           h. (p Ù q) Þ q
4.      Tuliskan negasi, konvers, invers, dan kontrapositif dari implikasi berikut ini dan tentukan nilai kebenaran masing-masing?
a.       Apabila 10 suatu bilangan prima maka 10 membagi habis 30
b.      Segi empat adalah suatu persegi hanya apabila diagonal segi empat itu sama panjang
c.       Jika sisi-sisi yang berdekatan dari suatu segi empat sama panjang maka segi empat itu adalah belah ketupat.


5.      Buatlah table nilai kebenaran dari pernyataan –pernyataan majemuk berikut ini!
a.       [(p Þ q) Ù ~q] Þ ~p
b.      [(p Þ q) Ù ~p] Þ q
c.       [(p Þ q) Ù (q Þ r)] Þ (p Þ r)


LATIHAN 3

Untuk meningkatkan pemahaman anda, silahkan selesaikan soal berikut dengan benar!

1.      Seorang biologiwan mengamati pertumbuhan populasi protozoa tiap 2 hari dan diperoleh data dalam satuan ribuan  sebagai berikut:
a.       Tuliskan fungsi yang tepat untuk memodelkan pertumbuhan populasi protozoa tersebut.
b.      Tentukan populasi protozoa pada hari ke-2, 4, 6, 8, 12 dan 14
c.       Sketsa grafik fungsi tersebut
2.      Keuntungan penjualan pulsa dicatat tiap hari sebagai berikut
Hari
1
2
3
4
5
6
7
Laba
1.5
5
10.5
18
27.5
39
52.5

a.       Tentukan rumus fungsi yang tepat untuk memetakkan hubungan antara hari dengan keuntungan.
Tentukan keuntungan penjualan selama satu bulan.


LATIHAN 4

1.      Dengan menggunakan pemfaktoran tentukan akar dari persamaan:
a.         x2 – 3x + 2 = 0                 
b.      x2 + 3x – 4 = 0   
c.         2x2 – 3x – 5 = 0
2.      Dengan melengkapkan kuadrat tentukan akar dari persamaan:
a.       x2 – 4x – 12 = 0    
b.      b. x2 – 3x – 4  = 0   
c.       c. 2x2 + 3x – 5 = 0
3.        Dengan mengunakan rumus abc tentukan akar dari persamaan:
a.     x2 + 4x – 21 = 0 
b.    x2 – 3x + 2  = 0    
c.      –2x2 + 3x – 1 = 0
4.      Tentukan himpunan penyelesaian dari
a.     x2 – 4x – 12 > 0                                  
b.    2x2 – 3x – 5 ≤ 0
c.     x2 – 3x + 2  ≥ 0           
d.       x2 + 3x – 4 < 0


Tidak ada komentar:

Poskan Komentar